9. Sınıf Astronomide ve Mühendislikte üslü ve köklü gösterimlerin kullanıldığı durumlar Test Çöz, Örnek Sorular

9. sınıf matematik dersinin önemli bir konusu olan üslü ve köklü ifadeler, bilim ve mühendislik alanlarında vazgeçilmez bir role sahiptir. Astronomide, gezegenler arasındaki muazzam mesafeleri veya yıldızların kütlelerini ifade ederken üslü sayılar kullanılır. Mühendislikte ise, köklü ifadeler özellikle alan ve hacim hesaplamalarında, titreşim analizlerinde ve elektrik devrelerinde empedans gibi karmaşık büyüklüklerin belirlenmesinde karşımıza çıkar. Bu gösterimler, çok büyük veya çok küçük sayılarla yapılan işlemleri basitleştirerek bilimsel çalışmaların ve teknolojik tasarımların temelini oluşturur.

• Üslü ifadeler, bir sayının kendisiyle belirli sayıda çarpımının kısa gösterimidir (aⁿ).
• Köklü ifadeler, üslü ifadelerin tersi işlemi olup, bir sayının hangi sayının kuvveti olduğunu bulmaya yarar (ⁿ√a).
• Üslü sayılarda çarpma işlemi: Tabanlar aynı ise üsler toplanır (aᵐ x aⁿ = aᵐ⁺ⁿ).
• Üslü sayılarda bölme işlemi: Tabanlar aynı ise üsler çıkarılır (aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ).
• Bir üssün kuvveti alınırken üsler çarpılır ((aᵐ)ⁿ = aᵐˣⁿ).
• Negatif üs, sayının çarpma işlemine göre tersini ifade eder (a⁻ⁿ = 1/aⁿ).
• Köklü ifadelerde toplama ve çıkarma sadece kök içleri ve kök dereceleri aynı ise yapılabilir (a√x ± b√x = (a±b)√x).
• Köklü ifadelerde çarpma işlemi: Kök dereceleri aynı ise kök içleri çarpılır (ⁿ√a ⁿ√b = ⁿ√(ab)).
• Köklü ifadelerde bölme işlemi: Kök dereceleri aynı ise kök içleri bölünür (ⁿ√a / ⁿ√b = ⁿ√(a/b)).
• Bir köklü ifadenin üssü, kök içindeki ifadenin üssünün kök derecesine bölünmesiyle bulunur (√a = a^(1/2), (ⁿ√aᵐ = aᵐ/ⁿ).
• Köklü ifadelerde kökün derecesi ve kök içindeki ifadenin üssü aynı sayı ile sadeleştirilebilir veya genişletilebilir.
• Astronomide, gezegenler arası mesafeler ve ışık yılı gibi çok büyük uzaklıklar üslü ifadelerle gösterilir.
• Mühendislikte, alan ve hacim hesaplamalarında, özellikle kare ve küp kökler sıklıkla kullanılır.
• Elektrik mühendisliğinde, alternatif akım devrelerinde empedans hesaplamaları köklü ifadeleri gerektirir.

Çözümlü Örnek Test Soruları

1. soru: Bir gök bilimci, Dünya'ya ulaşan bir yıldızın ışık şiddetini ölçmek istiyor. Yıldızın gerçek parlaklığı ile görünür parlaklığı arasındaki ilişki, mutlak kadir (M) ve görünür kadir (m) kavramları ile ifade edilir ve uzaklık modülü formülü olarak bilinen $m - M = 5 \log_{10}(d) - 5$ denklemi ile hesaplanır. Burada $d$, yıldızın parsek cinsinden uzaklığıdır. Bir yıldız için m=3 ve M= -2 olarak ölçülmüştür. Buna göre bu yıldızın Dünya'ya olan uzaklığı kaç parsektir? ($\log_{10}2 \approx 0,3010$)
A) 10
B) 20
C) 50
D) 100
Çözüm: Verilenleri formülde yerine koyalım: $3 - (-2) = 5 \log_{10}(d) - 5$ → $5 = 5 \log_{10}(d) - 5$ → $10 = 5 \log_{10}(d)$ → $\log_{10}(d) = 2$ → $d = 10^{2} = 100$ parsek. Doğru cevap: D

2. soru: Bir inşaat mühendisi, deprem yönetmeliğine uygun olarak tasarladığı binanın kolon kesit alanını hesaplamak istiyor. Betonarme bir kolonun taşıyabileceği yük $P = 0,85 \times f_c \times A_c$ formülü ile hesaplanır. Burada $f_c$ beton basınç dayanımı (MPa), $A_c$ ise kolon kesit alanıdır ($mm^2$). Mühendis, $f_c = 30$ MPa olan betonla, $P = 1,53 \times 10^6$ N'lik bir yük taşıyacak kare kesitli bir kolon tasarlıyor. Buna göre bu kolonun bir kenar uzunluğu kaç mm'dir?
A) $200$
B) $225$
C) $245$
D) $275$
Çözüm: Formülü $A_c$ için çözelim: $1,53 \times 10^6 = 0,85 \times 30 \times A_c$ → $1,53 \times 10^6 = 25,5 \times A_c$ → $A_c = \frac{1,53 \times 10^6}{25,5} = 60.000\ mm^2$. Kolon kare kesitli olduğu için bir kenar uzunluğu $\sqrt{60000} = \sqrt{6 \times 10^4} = 10^2 \times \sqrt{6} = 100 \times 2,449 = 244,9$ mm ≈ 245 mm. Doğru cevap: C

3. soru: Bir uzay mühendisi, yeni tasarladığı bir uydu için güneş paneli alanını belirlemeye çalışıyor. Uydunun Dünya yörüngesinde çalışması için gereken güç 800 Watt'tır. Güneş panellerinin verimliliği %20'dir ve Dünya yörüngesinde 1 $m^2$'ye ulaşan güneş enerjisi 1360 W/$m^2$'dir. Mühendis, güvenlik payı olarak gereken alanın $\sqrt{2}$ katı panel kullanmaya karar veriyor. Buna göre uydunun güneş panelinin toplam alanı yaklaşık kaç $m^2$'dir?
A) $4$
B) $5$
C) $6$
D) $7$
Çözüm: Öncelikle teorik olarak gereken minimum alanı bulalım. 1 $m^2$ panel, $1360 \times 0,20 = 272$ W güç üretir. 800 W için gereken alan: $800 / 272 \approx 2,94\ m^2$. Mühendis bunun $\sqrt{2}$ katını kullanacağı için gerekli alan: $2,94 \times \sqrt{2} \approx 2,94 \times 1,414 \approx 4,16\ m^2$. Yaklaşık değer 4 $m^2$'dir. Doğru cevap: A

4. soru: Bir elektronik mühendisi, bir hoparlör sisteminin ses şiddetini ayarlıyor. Ses şiddet düzeyi (desibel cinsinden) $L = 10 \log_{10}\left(\frac{I}{I_0}\right)$ formülü ile hesaplanır. Burada $I$ ses şiddeti, $I_0$ ise insan kulağının duyabildiği eşik şiddetidir ($10^{-12}$ W/$m^2$). Mühendis, ses şiddetini 80 dB'den 98 dB'ye çıkardığında, ses şiddetinin ($I$) kaç katına çıkmış olur?
A) $6$
B) $8$
C) $63$
D) $80$
Çözüm: İlk durum için: $80 = 10 \log_{10}\left(\frac{I_1}{I_0}\right)$ → $8 = \log_{10}\left(\frac{I_1}{I_0}\right)$ → $\frac{I_1}{I_0} = 10^8$. İkinci durum için: $98 = 10 \log_{10}\left(\frac{I_2}{I_0}\right)$ → $9,8 = \log_{10}\left(\frac{I_2}{I_0}\right)$ → $\frac{I_2}{I_0} = 10^{9,8}$. Oranı bulalım: $\frac{I_2}{I_1} = \frac{10^{9,8}}{10^8} = 10^{1,8} = 10^{\frac{18}{10}} = 10^{\frac{9}{5}} = (10^9)^{\frac{1}{5}}$. $10^{0,8} = 10^{4/5} = \sqrt[5]{10^4} = \sqrt[5]{10000}$ değerini hesaplayalım. $2^{5}=32$, $6^{5}=7776$, $7^{5}=16807$ olduğundan, $6^3=63$'e yakındır. $10^{1,8} = 10 \times 10^{0,8} \approx 10 \times 6,3 = 63$. Doğru cevap: C

Anahtar Kelimeler: üslü ifadeler test çöz, köklü sayılar test soruları, astronomi matematik testi, mühendislik matematik testi, yeni nesil matematik testi