6. Sınıf Ortak Kat ve Ortak Bölen Test Çöz, Testleri, Soruları ve Cevapları

Matematik dersinde sayılar arasındaki ilişkileri anlamak için önemli konulardan biri ortak kat ve ortak bölen kavramlarıdır. Bu konu, iki veya daha fazla sayının ortak özelliklerini keşfetmeyi ve bu sayıların bölünebilirlik kurallarını sistematik bir şekilde incelemeyi sağlar. Ortak bölen, verilen sayıların her birini kalansız bölen sayıları ifade ederken, ortak kat ise bu sayıların her ikisinin de katı olan sayılardır. Bu temel kavramlar, kesirlerde sadeleştirme ve genişletme işlemlerinden, problem çözme stratejilerine kadar birçok alanda gerekli olan sağlam bir matematiksel alt yapı oluşturur.

• Bir sayının katları, o sayının pozitif tam sayılarla çarpımından elde edilir.
• İki veya daha fazla sayının ortak katı, bu sayıların her birinin bir katı olan sayıdır.
• İki sayının ortak katlarının en küçüğüne EKOK (En Küçük Ortak Kat) denir.
• Bir sayının bölenleri (çarpanları), o sayıyı kalansız bölen tam sayılardır.
• İki veya daha fazla sayının ortak böleni, bu sayıların her birini kalansız bölen sayıdır.
• İki sayının ortak bölenlerinin en büyüğüne EBOB (En Büyük Ortak Bölen) denir.
• EBOB'u bulmak için ortak asal çarpanların en küçük üsleri alınır.
• EKOK'u bulmak için tüm asal çarpanların en büyük üsleri alınır.
• İki sayının çarpımı, EBOB ve EKOK'larının çarpımına eşittir (A x B = EBOB(A,B) x EKOK(A,B)).
• Kesirleri sadeleştirmek için EBOB, ortak payda bulmak için ise EKOK kullanılır.

Çözümlü Örnek Test Soruları

1. soru: Bir marangoz, uzunlukları 120 cm ve 150 cm olan iki farklı tahta parçasını, hiç artmayacak şekilde eşit uzunlukta parçalara ayırmak istiyor. Bu parçaların her birinin uzunluğu santimetre cinsinden bir tam sayı olduğuna göre, bir parçanın mümkün olan en büyük uzunluğu kaç santimetredir?
A) 10
B) 15
C) 30
D) 60
Çözüm: İki tahtayı hiç artmayacak şekilde eşit uzunlukta parçalara ayırmak için parça uzunluğu, her iki tahta uzunluğunu da tam bölmelidir. Yani, 120 ve 150 sayılarının ortak böleni olmalıdır. En büyük parça uzunluğu ise bu iki sayının En Büyük Ortak Böleni (EBOB) ile bulunur. $120 = 2^3 \times 3 \times 5$ ve $150 = 2 \times 3 \times 5^2$ şeklinde asal çarpanlarına ayrılır. Ortak asal çarpanların en küçük üslerinin çarpımı EBOB'u verir: $2^1 \times 3^1 \times 5^1 = 30$. Bir parçanın mümkün olan en büyük uzunluğu 30 cm'dir. Doğru cevap: C

2. soru: Bir otobüs firmasının A şehrinden kalkan otobüsleri 8 saatte bir, B şehrinden kalkan otobüsleri ise 12 saatte bir sefer düzenlemektedir. İlk seferlerini aynı anda yapan bu otobüsler, kaç saat sonra tekrar aynı anda sefere çıkarlar?
A) 24
B) 36
C) 48
D) 96
Çözüm: Otobüslerin aynı anda sefere çıkmaları için geçen süre, 8 ve 12 sayılarının ortak katı olmalıdır. Bu durumda en erken karşılaşma süresi, bu iki sayının En Küçük Ortak Katı (EKOK) ile bulunur. $8 = 2^3$ ve $12 = 2^2 \times 3$ şeklinde asal çarpanlarına ayrılır. EKOK, ortak olan ve olmayan tüm asal çarpanların en büyük üslü hallerinin çarpımıdır: $2^3 \times 3^1 = 24$. Otobüsler 24 saat sonra tekrar aynı anda sefere çıkarlar. Doğru cevap: A

3. soru: Bir bahçıvan, fidesini dikmek için kare şeklindeki bir alanın etrafını eşit aralıklarla çevreleyecektir. Alanın bir kenar uzunluğu 18 metredir. Bahçıvan, köşelere de fide dikmek şartıyla, fideler arası mesafenin metre cinsinden bir tam sayı olmasını istiyor. Buna göre, fideler arasındaki mesafe aşağıdakilerden hangisi olamaz?
A) 2
B) 3
C) 6
D) 7
Çözüm: Karenin çevresi $4 \times 18 = 72$ metredir. Fideler arası mesafe, 72'nin bir böleni olmalıdır çünkü çevre bu mesafe ile tam bölünmelidir. 72'nin bölenlerini bulalım: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72. Seçeneklerde verilen 2, 3 ve 6 sayıları 72'nin bölenleridir. Ancak 7 sayısı 72'yi tam bölmez ($72 \div 7 \approx 10.285$). Bu nedenle fideler arası mesafe 7 metre olamaz. Doğru cevap: D

4. soru: Bir fabrikada, kırmızı lamba 15 saniyede bir, mavi lamba 20 saniyede bir, yeşil lamba ise 25 saniyede bir yanmaktadır. Üç lamba aynı anda yandıktan sonra, ilk kez kaç saniye sonra tekrar üçü birlikte yanar?
A) 60
B) 150
C) 300
D) 600
Çözüm: Üç lambanın birlikte yanması için geçen süre, yanma aralıklarının ortak katı olmalıdır. En erken birlikte yanma süresi ise 15, 20 ve 25 sayılarının En Küçük Ortak Katı (EKOK) ile bulunur. Sayıları asal çarpanlarına ayıralım: $15 = 3 \times 5$, $20 = 2^2 \times 5$, $25 = 5^2$. EKOK'u bulmak için tüm asal çarpanların en büyük üslülerini çarparız: $2^2 \times 3^1 \times 5^2 = 4 \times 3 \times 25 = 300$. Üç lamba 300 saniye sonra tekrar birlikte yanar. Doğru cevap: C

5. soru: Bir manav, 48 kg elma ve 60 kg portakalı birbirine karıştırmadan, eşit kütledeki poşetlere paylaştırmak istiyor. Bir poşetin kütlesi kilogram cinsinden bir tam sayı olduğuna ve hiç meyve artmayacağına göre, bu iş için en az kaç poşet gereklidir?
A) 9
B) 12
C) 15
D) 18
Çözüm: Poşetlerin kütlesi, hem 48'in hem de 60'ın bir böleni olmalıdır. En az poşet sayısı için poşet başına kütle en fazla olmalıdır. Bu da 48 ve 60'ın En Büyük Ortak Böleni (EBOB) ile bulunur. $48 = 2^4 \times 3$ ve $60 = 2^2 \times 3 \times 5$. EBOB, ortak asal çarpanların en küçük üslerinin çarpımıdır: $2^2 \times 3^1 = 12$ kg. Toplam meyve kütlesi $48 + 60 = 108$ kg'dır. Bir poşet 12 kg alacağına göre toplam poşet sayısı $108 \div 12 = 9$ adettir. Doğru cevap: A

Anahtar Kelimeler: 6. sınıf ortak kat ortak bölen test çöz, ortak kat ve ortak bölen test soruları, 6. sınıf matematik testleri çöz, yeni nesil matematik testi, kazanım testleri çöz, yazılı hazırlık testi