Eşlik ve Benzerlik Test Çöz, Soruları ve Cevapları 9. Sınıf

🔺 9. Sınıf Matematik Dersi 4. Tema: Eşlik ve Benzerlik

Geometri dünyasında şekiller arasındaki ilişkileri anlamak için iki önemli kavramla tanışıyoruz: Eşlik ve Benzerlik. Bu konu, günlük hayatta karşılaştığımız birçok nesnenin (haritalar, maketler, fotoğraflar) arkasındaki matematiksel mantığı anlamamızı sağlar. Eşlik, birebir aynı şekilleri; benzerlik ise aynı forma sahip ama farklı boyutlardaki şekilleri ifade eder.

📐 Eşlik (Eş Şekiller) Nedir?

İki çokgenin eş olabilmesi için hem şekil hem de boyut olarak tamamen aynı olmaları gerekir. Yani bir çokgeni alıp diğerinin üzerine koyduğumuzda, tüm kenar ve açıları çakışmalıdır.

• ✅ Karşılıklı Kenarlar Eşittir: Eş çokgenlerin tüm karşılıklı kenar uzunlukları birbirine eşittir.
• ✅ Karşılıklı Açılar Eşittir: Eş çokgenlerin tüm karşılıklı iç açı ölçüleri birbirine eşittir.
• ✅ Çevre Uzunlukları Eşittir: Eş şekillerin çevreleri de birbirine eşittir.
• ✅ Alanları Eşittir: Eş şekillerin alanları da birbirine eşittir.

💡 Örnek: Kenar uzunlukları $3$ cm, $4$ cm ve $5$ cm olan bir üçgen düşünelim. Aynı kenar uzunluklarına sahip başka bir üçgen çizdiğimizde, bu iki üçgen eştir. Birinin alanı $6$ $cm^2$ ise, diğerinin alanı da $6$ $cm^2$'dir.

🔄 Benzerlik (Benzer Şekiller) Nedir?

İki çokgenin benzer olabilmesi için aynı şekle sahip olmaları yeterlidir; boyutları farklı olabilir. Yani bir çokgeni büyütüp küçülterek diğerini elde edebiliriz. Bu büyütme/küçültme oranına benzerlik oranı denir.

• 📏 Karşılıklı Açılar Eşittir: Benzer çokgenlerin tüm karşılıklı iç açı ölçüleri eşittir.
• ⚖️ Karşılıklı Kenarlar Oranlıdır: Benzer çokgenlerin karşılıklı kenar uzunlukları arasında sabit bir oran vardır. Bu orana benzerlik oranı (k) denir.
• 🔄 Çevreler Oranı: Benzer çokgenlerin çevreleri arasındaki oran, benzerlik oranına ($k$) eşittir. ($\frac{Ç_1}{Ç_2} = k$)
• 📐 Alanlar Oranı: Benzer çokgenlerin alanları arasındaki oran, benzerlik oranının karesine ($k^2$) eşittir. ($\frac{A_1}{A_2} = k^2$)

💡 Örnek: Kenar uzunlukları $2$ cm, $3$ cm ve $4$ cm olan bir üçgen ile kenar uzunlukları $4$ cm, $6$ cm ve $8$ cm olan bir üçgeni ele alalım. Tüm karşılıklı kenarlar 2 katına çıkmıştır. Benzerlik oranı $k = \frac{1}{2}$ veya $k=2$'dir. İkinci üçgenin çevresi, birincinin 2 katıdır. İkinci üçgenin alanı ise birincinin $2^2 = 4$ katıdır.

🔍 Benzerlik Çeşitleri ve Kuralları

Üçgenlerde benzerliği ispatlamak için kullandığımız temel kurallar vardır.

• ➡️ Kenar-Kenar-Kenar (K.K.K.) Benzerlik Kuralı: İki üçgenin karşılıklı kenarları orantılı ise bu iki üçgen benzerdir.
• ➡️ Açı-Açı (A.A.) Benzerlik Kuralı: İki üçgenin ikişer açısı eşit ise üçüncü açıları da eşit olacağından bu üçgenler benzerdir. En çok kullanılan kuraldır.
• ➡️ Kenar-Açı-Kenar (K.A.K.) Benzerlik Kuralı: İki üçgenin birer açısı eşit ve bu açıyı oluşturan kenarlar orantılı ise bu iki üçgen benzerdir.

💡 Örnek (A.A. Kuralı): Bir üçgenin iç açıları $50°$ ve $60°$ ise üçüncü açı $70°$ olur. Başka bir üçgenin iç açıları da $50°$ ve $60°$ ise, bu iki üçgen A.A. benzerlik kuralına göre benzerdir.

📏 Temel Orantı Teoremi

Bir üçgenin bir kenarına paralel çizilen bir doğru, diğer iki kenarı orantılı parçalara ayırır. Bu, benzerlik problemlerini çözerken en güçlü araçlarımızdan biridir.

💡 Örnek: $ABC$ üçgeninde $[DE] // [BC]$ ise, $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$ orantısı yazılabilir. Ayrıca, $ADE$ üçgeni ile $ABC$ üçgeni benzerdir.