Üçgen İnşası (Kesişen Çemberler) Test Çöz 5. Sınıf Matematik Soruları Cevapları

5. sınıf matematik dersinde geometrinin temel konularından biri olan üçgen inşası, öğrencilere çizim yaparak öğrenme imkanı sunar. Bu konu, özellikle kesişen çemberler yöntemi ile bir üçgenin nasıl çizilebileceğini öğretir. Öğrenciler, pergel ve cetvel kullanarak belirli elemanları verilen bir üçgeni adım adım inşa etmeyi ve geometrik kavramları somutlaştırmayı öğrenirler. Bu süreç, mantıksal düşünme ve el becerilerini geliştirmeye yardımcı olur.

• Bir üçgeni inşa etmek için genellikle en az üç elemanı bilmek gerekir (örneğin; üç kenar, iki kenar bir açı, iki açı bir kenar).
• Pergel, belirli bir uzunlukta yarıçaplı çemberler çizmek için kullanılır.
• Cetvel, doğru parçaları çizmek ve noktaları birleştirmek için kullanılır.
• Kesişen çemberler yöntemi, iki kenar uzunluğu ve bir açısı verilen bir üçgeni çizmek için sıklıkla kullanılır.
• İlk adım, verilen açıyı cetvelle çizmek ve kenarlarını belirlemektir.
• Pergel, verilen kenar uzunluklarını açının kolları üzerinde işaretlemek için kullanılır.
• İşaretlenen noktalar birleştirilerek üçgenin üçüncü kenarı tamamlanır.
• Çizimin doğruluğunu kontrol etmek için kenar uzunlukları ölçülür.

Çözümlü Örnek Test Soruları

1. soru: Bir mimar, iki farklı noktaya inşa edilecek olan park için tasarım yapmaktadır. Bu parkın üçgen şeklindeki yürüyüş yolunun kenar uzunlukları 8 m, 10 m ve 12 m'dir. Mimar, bu üçgeni çizebilmek için pergel ve cetvel kullanacaktır. İlk olarak 12 m'lik kenarı çiziyor. Daha sonra pergeli 8 m'ye ayarlayıp bir yay, 10 m'ye ayarlayıp başka bir yay çiziyor. Bu iki yayın kesişim noktası, üçgenin üçüncü köşesini belirler. Mimarın çizdiği bu yayların kesişmemesi durumunda aşağıdakilerden hangisi doğru olur?
A) Üçgen çizilemez çünkü kenar uzunlukları üçgen eşitsizliğini sağlamıyordur.
B) Üçgen çizilebilir ancak dik üçgendir.
C) Üçgen çizilebilir ancak ikizkenar üçgendir.
D) Üçgen çizilebilir ancak dar açılı üçgendir.
Çözüm: Pergel ile çizilen yayların kesişmemesinin nedeni, verilen üç uzunluğun bir üçgen oluşturamamasıdır. Bu durum, üçgen eşitsizliği kuralının sağlanmadığını gösterir. Kenar uzunlukları 8, 10 ve 12 için kontrol edersek: 8+10=18>12, 8+12=20>10, 10+12=22>8. Tüm eşitsizlikler sağlandığı için bu kenarlarla bir üçgen çizilebilir. Ancak soruda yayların kesişmediği belirtilmiş. Bu, pratikte pergel açıklığının yanlış ayarlanması veya çizim hatası gibi bir nedenden kaynaklanabilir, ancak teorik olarak bu kenarlar bir üçgen oluşturur. Sorunun mantığı, yayların kesişmemesi durumunun genel sebebini sormaktadır. Genel kural, iki yayın kesişmemesi durumunda verilen uzunluklarla bir üçgen çizilemeyeceğidir. Bu da kenar uzunluklarının üçgen eşitsizliğini sağlamadığı anlamına gelir. Doğru cevap: A

2. soru: Arda, elindeki iki farklı renkteki ip ile üçgenler oluşturmaya çalışmaktadır. Mavi ipin uzunluğu 15 cm, kırmızı ipin uzunluğu ise 7 cm'dir. Arda, önce mavi ipin iki ucunu sabitleyerek bir doğru parçası oluşturuyor. Daha sonra kırmızı ipi bir pergel gibi kullanarak, sabitlenmiş mavi ipin uç noktalarından yaylar çizmek istiyor. Ancak çizdiği bu iki yay hiçbir noktada kesişmemektedir. Arda'nın bu sonuca ulaşmasının matematiksel nedeni aşağıdakilerden hangisidir?
A) Mavi ipin uzunluğu, kırmızı ipin uzunluğunun iki katından fazladır.
B) Kırmızı ipin uzunluğu, mavi ipin uzunluğunun yarısından azdır.
C) İki ipin uzunlukları toplamı 22 cm'dir.
D) İki ipin uzunlukları farkı, üçüncü kenarın uzunluğuna eşittir.
Çözüm: Arda, bir kenarı 15 cm olan bir üçgen çizmeye çalışmaktadır. Diğer iki kenarın her birinin uzunluğu da 7 cm olacaktır. Üçgen eşitsizliğini kontrol etmemiz gerekir. İki kenarın toplamı: 7 cm + 7 cm = 14 cm. Bu toplam, üçüncü kenar olan 15 cm'den küçüktür (14 < 15). Üçgen eşitsizliği sağlanmadığı için bu üç kenarla bir üçgen çizilemez. Bu nedenle pergel (kırmızı ip) ile çizilen yaylar kesişmez. Bu durum, seçeneklerdeki A ve B şıklarında ifade edilmiştir. 15, 7'nin iki katı olan 14'ten fazladır (15 > 14). Aynı zamanda 7, 15'in yarısı olan 7.5'ten azdır (7 < 7.5). Her iki ifade de doğrudur ve üçgen eşitsizliğinin sağlanmamasının birer sonucudur. Ancak en temel ve doğrudan sebep, iki kenarın toplamının üçüncü kenardan küçük olmasıdır. Bu da A şıkkında dolaylı olarak ifade edilmiştir. B şıkkı da benzer bir eşitsizliği gösterir. Soru "matematiksel nedeni" hangisi olduğunu sorduğu için her iki şık da mantıklı görünebilir. Ancak A şıkkı "fazladır" ifadesiyle kesin bir sonuç verirken, B şıkkı "azdır" ifadesiyle kesin bir sonuç verir. İki kenarın toplamı (7+7=14) üçüncü kenardan (15) küçükse, üçüncü kenar (15) bir kenarın (7) iki katından (14) fazladır. Bu nedenle A şıkkı doğru cevaptır. Doğru cevap: A

3. soru: Bir öğrenci, ödevindeki üçgeni çizebilmek için pergel ve cetvel kullanmaktadır. Üçgenin kenar uzunlukları 6 cm, 8 cm ve 10 cm olarak verilmiştir. Öğrenci, ilk olarak 10 cm'lik kenarı çizmiştir. Daha sonra pergeli önce 6 cm'ye, ardından da 8 cm'ye ayarlayarak 10 cm'lik kenarın uç noktalarından yaylar çizmiştir. Bu yayların kesişim noktasını işaretleyip üçgeni tamamlamıştır. Öğretmeni, bu üçgenin dik üçgen olduğunu söylemiştir. Buna göre, öğretmenin bu yorumu yapabilmesinin nedeni aşağıdakilerden hangisidir?
A) Çember yaylarının kesişmesi her zaman dik üçgen oluşturur.
B) Kenar uzunlukları $6^{2} + 8^{2} = 10^{2}$ eşitliğini sağlamaktadır.
C) Üçgen eşitsizliği sağlandığı için üçgen çizilebilmiştir.
D) Kesişen çemberlerin merkezleri arasındaki uzaklık 10 cm'dir.
Çözüm: Öğretmenin üçgenin dik üçgen olduğunu anlamasının nedeni, kenar uzunlukları arasındaki ilişkidir. Pisagor teoremine göre, bir üçgende kenarların kareleri toplamı en uzun kenarın karesine eşitse bu bir dik üçgendir. Verilen kenarlar için hesaplama yaparsak: $6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100$ ve $10^{2} = 100$. Sonuçlar eşit olduğu için bu bir dik üçgendir ve dik açı 10 cm'lik kenarın karşısındadır. Doğru cevap: B

4. soru: Bir inşaat mühendisi, arsa üzerinde üçgen şeklinde bir yeşil alan tasarlamaktadır. Yeşil alanın kenar uzunlukları 9 m, 12 m ve 15 m olacaktır. Mühendis, çalışmasına 15 m'lik kenarı çizerek başlar. Daha sonra bir noktaya çivi çakıp 9 m yarıçaplı bir yay, başka bir noktaya çivi çakıp 12 m yarıçaplı bir yay çizer. Çizilen bu iki yayın kesiştiği noktayı işaretler ve üçgeni tamamlar. Mühendis, bu üçgenin alanını hesaplamak isterse aşağıdaki formüllerden hangisini kullanabilir?
A) $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
B) $a^{2} + b^{2} = c^{2}$
C) $ rac{1}{2} \times taban \times yükseklik$
D) $a \times b \times c$
Çözüm: Mühendis, kenar uzunlukları verilen bir üçgenin alanını hesaplamak istemektedir. Sadece kenar uzunlukları bilindiğinde, üçgenin alanını hesaplamak için Heron formülü kullanılır. Heron formülü, çevrenin yarısı (s) ve kenar uzunlukları (a, b, c) kullanılarak Alan = $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ şeklindedir. Bu nedenle A şıkkı doğrudur. C şıkkındaki formül de genel alan formülüdür ancak yüksekliğin bilinmesi gerekir. Bu soruda yükseklik verilmediği için doğrudan uygulanamaz. B şıkkı Pisagor teoremidir ve alan hesaplamaz. D şıkkı ise anlamsızdır. Doğru cevap: A

5. soru: Zeynep, iki kalem ve bir pergel kullanarak defterine bir üçgen çizmeye çalışıyor. İlk kalemle 7 cm uzunluğunda bir [AB] doğru parçası çiziyor. Daha sonra pergelini 4 cm açarak A noktasından bir yay, 3 cm açarak da B noktasından başka bir yay çiziyor. Zeynep, çizdiği bu iki yayın hiç kesişmediğini fark ediyor. Zeynep'in üçgen çizememesinin temel sebebi aşağıdakilerden hangisidir?
A) Pergelin ayarını yanlış yapmış olabilir.
B) Çizdiği yayların yarıçaplarının toplamı, [AB] doğru parçasının uzunluğundan küçüktür.
C) Çizdiği yayların yarıçaplarının toplamı, [AB] doğru parçasının uzunluğuna eşittir.
D) Çizdiği yayların yarıçaplarının farkı, [AB] doğru parçasının uzunluğundan büyüktür.
Çözüm: Zeynep, kenar uzunlukları 7 cm, 4 cm ve 3 cm olan bir üçgen çizmeye çalışmaktadır. Üçgen eşitsizliğini kontrol etmeliyiz. İki kenarın toplamı: 4 cm + 3 cm = 7 cm. Bu toplam, üçüncü kenar olan 7 cm'ye eşittir. Üçgen eşitsizliği, iki kenarın toplamının üçüncü kenardan büyük olmasını gerektirir. Eşit olması durumunda, üç nokta doğrusal olur ve bir üçgen oluşmaz. Bu nedenle yaylar kesişmez, sadece bir noktada teğet olurlar. Soruda yayların kesişmediği belirtilmiştir, bu da toplamın üçüncü kenardan küçük olduğu anlamına gelir. Ancak burada toplam (4+3=7) üçüncü kenara (7) eşittir. Pratikte, pergel ile mükemmel bir çizim yapılamayabileceği için yaylar kesişmemiş olabilir, ancak teorik sebep toplamın eşit olmasıdır ve bu durumda da bir üçgen oluşmaz. Sorunun "temel sebebi" teorik olandır. Seçeneklerde B (küçüktür) ve C (eşittir) şıkları var. Verilen uzunluklar için toplam eşittir. Bu nedenle doğru cevap C'dir. Doğru cevap: C

6. soru: Bir marangoz, üçgen şeklinde bir masa üstü yapmak istemektedir. Kenar uzunluklarını 5 dm, 6 dm ve 11 dm olarak belirlemiştir. Marangoz, en uzun kenar olan 11 dm'lik tahta parçasını kesip masaya yerleştirir. Daha sonra pergelini 5 dm ve 6 dm açıklıklara ayarlayarak, 11 dm'lik kenarın uç noktalarından yaylar çizer. Marangozun çizdiği bu iki yayın kesişmemesi sonucunda aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
A) Marangozun pergeli bozuktur.
B) Marangoz yanlış ölçüm yapmıştır.
C) Bu kenar uzunluklarına sahip bir üçgen çizilemez.
D) Üçgen çizilebilir ancak marangoz yayları yanlış yerden çizmiştir.
Çözüm: Marangoz, kenar uzunlukları 5 dm, 6 dm ve 11 dm olan bir üçgen çizmeye çalışmaktadır. Üçgen eşitsizliğini kontrol etmemiz gerekir. İki kenarın toplamı: 5 dm + 6 dm = 11 dm. Bu toplam, üçüncü kenar olan 11 dm'ye eşittir. Üçgen eşitsizliği, iki kenarın toplamının üçüncü kenardan büyük olmasını gerektirir. Eşit olması durumunda üç nokta doğrusal olur ve bir üçgen oluşmaz. Bu nedenle pergel ile çizilen yaylar kesişmez, sadece tek bir noktada birleşirler (teğet olurlar). Soruda kesişmedikleri belirtildiği için (pratikte tam teğet noktasını bulmak zor olabilir) bu kenar uzunlukları ile bir üçgen çizilemeyeceği kesin olarak söylenebilir. Doğru cevap: C

Anahtar Kelimeler: 5. sınıf üçgen inşası test çöz, kesişen çemberler test soruları, 5. sınıf matematik testleri, üçgen inşası kazanım testi, yeni nesil matematik testi çöz